مساحت شکل مرکب؛ تقسیم کنیم یا قسمت خالی را کم کنیم؟

مساحت شکل مرکب با دو نقشهٔ ساده

پیش از حساب‌کردن، یک نقشه انتخاب کن. در روش جمع، شکل را به مستطیل‌هایی می‌بری که نه فاصله دارند و نه روی هم افتاده‌اند. در روش تفریق، ابتدا یک مستطیل کامل دور شکل می‌سازی و سپس حفره یا قسمت بریده‌شده را کم می‌کنی.

هر دو روش می‌توانند درست باشند. معیار انتخاب، کوتاه‌تر بودن محاسبه و معلوم بودن ضلع‌هاست؛ نه این‌که شکل حتماً فقط یک راه حل داشته باشد.

دادهٔ رسمی چه خطایی را آشکار می‌کند؟

در انتشار عمومی ریاضی پایهٔ ششم ادارهٔ آموزش ایالت مریلند، پاسخ‌های نمونهٔ دانش‌آموزان برای مسئلهٔ یک قاب مستطیلی همراه با توضیح نمره‌گذار آمده است. در پاسخ‌های ضعیف‌تر، فقط یک نوار قاب حساب شده، ضخامت قاب تنها به یک سمتِ طول و عرض افزوده شده، یا مساحت بیرونی بدون کم‌کردن فضای تصویر به‌عنوان مساحت چوب گزارش شده است.

این‌ها نمونه‌های منتشرشده برای همان سؤال‌اند و دربارهٔ میزان شیوع خطا میان همهٔ دانش‌آموزان چیزی نمی‌گویند. ارزش آموزشی آن‌ها در نشان‌دادن نخستین گام خراب است: مرز «کل» و «قسمتِ حذف‌شده» پیش از فرمول‌نویسی مشخص نشده است.

مثال حل‌شده: مساحت یک قاب مستطیلی

تصویری به طول ۱۸ و عرض ۱۲ سانتی‌متر داریم و قاب از هر طرف ۲ سانتی‌متر ضخامت دارد. چون قاب در سمت چپ و راست قرار می‌گیرد، طول بیرونی ۱۸+۲+۲=۲۲ است. به همین دلیل عرض بیرونی نیز ۱۲+۲+۲=۱۶ می‌شود.

خطای رایج، افزودن فقط ۲ به هر بُعد است. ضخامت ۲ سانتی‌متر در دو سوی هر بُعد قرار دارد؛ پس باید در مجموع ۴ سانتی‌متر به طول و ۴ سانتی‌متر به عرض اضافه شود.

مثال دوم: شکل L را بدون هم‌پوشانی تقسیم کن

شکلی L‌مانند را درون مستطیل ۱۰×۸ در نظر بگیر که از گوشهٔ بالای راست آن یک مستطیل ۴×۳ بریده شده است. روش تفریق مستقیم است:

برای کنترل می‌توان شکل را به دو مستطیل تقسیم کرد: یک نوار پایین با ابعاد ۱۰×۵ و یک مستطیل بالا-چپ با ابعاد ۶×۳. حاصل ۵۰+۱۸=۶۸ است. برابرشدن دو روش، کنترل مستقلی برای برش و ضلع‌های انتخاب‌شده می‌سازد.

اول ضلع گمشده را پیدا کن

در شکل‌های پله‌ای معمولاً همهٔ ضلع‌ها عدد ندارند. ضلع گمشده را از طول کل و قسمت‌های همان جهت پیدا کن. در مثال قبل، عرض قسمت باقی‌مانده در بالا برابر ۱۰−۴=۶ و ارتفاع نوار پایین برابر ۸−۳=۵ است.

1. ضلع‌های افقی را فقط با ضلع‌های افقی مقایسه کن.
2. ضلع‌های عمودی را فقط با ضلع‌های عمودی مقایسه کن.
3. طول کل باید برابر مجموع تکه‌های هم‌جهت باشد.

اگر عددی از جهت دیگر وارد تفریق شود، حتی با محاسبهٔ درست به طول واقعی نمی‌رسی. برای مرتب‌کردن داده‌ها می‌توانی از روش شکل، فرض، حکم و دلیل در رفع اشکال هندسه استفاده کنی.

سه خطا و اولین خط اصلاح

۱. هم‌پوشانی دو مستطیل

اگر دو قطعه روی بخشی مشترک افتاده باشند، آن قسمت دو بار وارد جمع می‌شود. مرز هر قطعه را روی شکل بکش و بپرس: «آیا هر نقطهٔ شکل دقیقاً در یکی از قطعه‌هاست؟» اگر نه، تقسیم‌بندی را عوض کن یا مساحت هم‌پوشانی را کم کن.

۲. کم‌کردن طول به‌جای مساحت

در روش تفریق باید مساحت حفره را کم کنی، نه طول یا عرض آن را. عبارت 80−4 واحدهای ناسازگار دارد: ۸۰ سانتی‌متر مربع است، اما ۴ سانتی‌متر.

۳. شمردن خط داخلی به‌عنوان بخش تازه

خطی که برای تقسیم شکل می‌کشی، مساحت ایجاد نمی‌کند؛ فقط سطح موجود را دسته‌بندی می‌کند. حاصل جمع باید از مساحت مستطیل دور شکل بیشتر نشود. راهنمای کنترل جواب مسئله با واحد و کران برای این بررسی مفید است.

چطور میان جمع و تفریق انتخاب کنیم؟

• اگر یک مستطیل کامل و یک حفرهٔ واضح می‌بینی، تفریق معمولاً کوتاه‌تر است.
• اگر شکل از چند بال یا پلهٔ جدا و بدون حفره ساخته شده، جمع قطعه‌ها خواناتر است.
• اگر یک روش به ضلع نامعلوم زیادی نیاز دارد، روش دیگر را امتحان کن.
• برای کنترل نهایی، اگر ممکن است پاسخ را با روش دوم دوباره بساز.

این تصمیم بخشی از مهارت انتخاب رابطه از روی خواسته و داده‌ها است: پیش از جای‌گذاری عددها، ساختار شکل را مشخص می‌کنی.

تمرین رفع اشکال

مستطیل بزرگی با ابعاد ۱۲×۹ داریم و از گوشهٔ آن مستطیلی با ابعاد ۵×۴ حذف شده است.

1. مساحت شکل باقی‌مانده را با روش تفریق پیدا کن.
2. دانش‌آموزی نوشته است ۱۲×۹−۵−۴=۹۹. اولین خطای او چیست؟
3. اگر هر ضلع دو برابر شود، مساحت باقی‌مانده چند برابر می‌شود؟

تمرین انتقال: قابی با ضخامت متفاوت

یک صفحهٔ داخلی ۲۰×۱۰ سانتی‌متر است. حاشیهٔ چپ و راست هرکدام ۳ سانتی‌متر و حاشیهٔ بالا و پایین هرکدام ۲ سانتی‌متر است. ابعاد بیرونی ۲۶×۱۴ می‌شود؛ بنابراین:

ضخامت افقی و عمودی لازم نیست برابر باشد. کافی است هر حاشیه را به همان بُعد درست اضافه کنی و سپس فضای داخلی را یک‌بار کم کنی.

چک‌لیست پیش از تحویل جواب

• مشخص کرده‌ام کدام سطح باقی می‌ماند و کدام قسمت حذف شده است.
• قطعه‌ها نه فاصله دارند و نه هم‌پوشانی؛ هر قسمت دقیقاً یک‌بار شمرده شده است.
• ضلع گمشده را از اندازه‌های هم‌جهت به دست آورده‌ام.
• طول را از طول کم کرده‌ام و مساحت را از مساحت.
• واحد نهایی مربع است و پاسخ از مساحت مستطیل دور شکل بیشتر نیست.

جمع‌بندی

برای محاسبهٔ مساحت شکل مرکب، اول شکل را بازطراحی کن و بعد فرمول بنویس. قطعه‌های کنار هم را بدون هم‌پوشانی جمع کن؛ حفرهٔ واضح را از مستطیل کامل کم کن؛ و ضلع‌های گمشده را فقط از اندازه‌های هم‌جهت بساز. در پایان، واحد مربع و یک کنترل با روش دوم جلوی بسیاری از خطاها را می‌گیرد. اگر در تشخیص قطعه‌ها گیر کردی، مسیر حل سؤال ریاضی آنلاین به‌صورت مرحله‌به‌مرحله را دنبال کن.